Menentukan fungsi eksponen dari grafik nya

Pendidikan Matematika

Fungsi Eksponensial dan GrafIknya

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari fungsi eksponensial. Misalnya,

merupakan fungsi eksponensial yang memiliki basis 2. Perhatikan bahwa fungsi ini naik/bertambah dengan sangat cepat.

Jika kita bandingkan fungsi ini dengan fungsi g(x) = x² yang menghasilkan g(30) = 900, kita dapat melihat bahwa jika variabel fungsi berada dalam eksponen, maka perubahan kecil pada variabel akan menyebabkan perubahan yang dramatis dalam nilai fungsi.

Secara garis besar, kita nanti akan mempelajari empat hal sebagai berikut:

• Mengenali dan menentukan nilai fungsi eksponensial dengan basis a.
• Menggambar grafik fungsi eksponensial dan menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu.
• Mengenali, menentukan nilai, dan menggambar grafik fungsi eksponensial dengan basis e.
• Menggunakan fungsi eksponensial untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Fungsi Eksponensial

Untuk mempelajari fungsi eksponensial, pertama kita harus mendefinisikan apa yang dimaksud dengan bentuk eksponensial a^x dengan x adalah sebarang bilangan real. Dalam pembahasan ini kita sudah tahu definisi a^x untuk a > 0 dan x adalah bilangan rasional, yaitu

Akan tetapi bagaimana jika x adalah bilangan irasional? Berapakah nilai dari 5^√3 atau 2^π? Untuk mendefinisikan a^x ketika x adalah bilangan irasional, kita dekati x dengan menggunakan bilangan rasional.

Misalkan, karena

merupakan bilangan irasional, kita dapat mendekati a^√3 dengan barisan pangkat bilangan rasional berikut:

Secara intuitif, kita dapat melihat bahwa pangkat rasional dari a akan mendekat dan terus mendekat ke a^√3. Dapat ditunjukkan dengan menggunakan matematika lanjut bahwa terdapat tepat satu bilangan yang didekati oleh barisan tersebut. Kita definisikan a^√3 sebagai bilangan ini.

Misalkan, dengan menggunakan kalkulator, kita dapat menghitung

Semakin banyak desimal yang kita gunakan untuk menentukan √3 dalam perhitungan, maka kita akan mendapatkan pendekatan yang semakin baik.

---

Definisi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial f dengan basis a dinotasikan dengan

di mana a > 0, a ≠ 1, dan x merupakan sebarang bilangan real.

---

Kita menganggap bahwa a ≠ 1 karena fungsi f(x) = 1^x = 1 merupakan fungsi konstan. Berikut ini beberapa contoh fungsi eksponensial:

Contoh 1: Menentukan Nilai Fungsi Eksponensial

Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai masing-masing fungsi berikut pada x yang diberikan.

1. f(x) = 2^x pada x = –3,1
2. f(x) = 2^–x pada x = π
3. f(x) = 0,6^x pada x = 3/2.

Pembahasan

1. f(–3,1) = 2^–3,1 ≈ 0,1166291
2. f(π) = 2^–π ≈ 0,1133147
3. f(3/2) = (0,6)^3/2 = 0,4647580

Ketika menghitung nilai fungsi eksponensial dengan menggunakan kalkulator, selalu ingat untuk menutup eksponen yang berbentuk pecahan dalam tanda kurung. Hal ini dikarenakan kalkulator mengikuti urutan operasi, dan tanda kurung sangat penting untuk mendapatkan hasil yang benar.

Grafik Fungsi Eksponensial

Pertama, kita akan menggambar grafik fungsi eksponensial dengan melakukan plot titik-titik. Kita nanti akan melihat bahwa grafik dari fungsi semacam ini memiliki bentuk yang mudah dikenali.

Contoh 2: Grafik Fungsi Eksponensial

Gambarlah grafik masing-masing fungsi berikut.

1. f(x) = 2^x
2. g(x) = (1/2)^x

Pembahasan Tabel berikut mendaftar x mulai dari –3 sampai 3 dan nilai fungsi-fungsi f dan g yang bersesuaian dengan nilai x tersebut.

Berikut ini grafik dari fungsi-fungsi f dan g pada satu bidang koordinat.

Perhatikan bahwa

sehingga kita dapat menggambar grafik fungsi g dengan mencerminkan grafik fungsi f terhadap sumbu-y.

Gambar 2 menunjukkan grafik dari keluarga fungsi-fungsi eksponensial f(x) = a^x untuk beberapa nilai basis a. Semua grafik ini melewati titik (0, 1) karena a⁰ = 1 untuk a ≠ 0. Kita dapat melihat dari Gambar 2 bahwa terdapat dua jenis fungsi eksponensial: Jika 0 < a < 1, fungsi eksponensial tersebut akan turun. Jika a > 1, fungsi tersebut akan naik.

Sumbu-x merupakan asimtot fungsi eksponensial f(x) = a^x. Hal ini dikarenakan jika a > 1, kita mendapatkan a^x akan mendekati nol ketika x mendekati –∞, dan jika 0 < a < 1, kita mendapatkan a^x akan mendekati 0 ketika x mendekati ∞. Selain itu, a^x > 0 untuk setiap x bilangan real, sehingga fungsi f(x) = a^x memiliki domain bilangan real dan range (0, ∞). Pengamatan ini dapat kita rangkum seperti berikut.

---

Grafik Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial

memiliki domain bilangan real dan range (0, ∞). Garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot horizontal dari f. Grafik f berbentuk salah satu dari grafik-grafik pada Gambar 3 berikut ini.

---

Contoh 3: Mengidentifikasi Grafik Fungsi Eksponensial

Tentukan fungsi eksponensial f(x) = a^x yang grafiknya diberikan oleh Gambar 4(a) dan 4(b) berikut.

Pembahasan Pada Gambar 4(a), kita dapat melihat bahwa f(2) = a² = 25. Sehingga kita mendapatkan a = 5. Jadi, fungsi eksponensial untuk Gambar 4(a) adalah f(x) = 5^x. Selanjutnya, pada Gambar 4(b) kita dapat melihat bahwa f(3) = a³ = 1/8. Sehingga a = ½. Oleh karena itu, fungsi yang memiliki grafik seperti pada Gambar 4(b) adalah f(x) = (1/2)^x.

Apabila kita perhatikan, grafik fungsi-fungsi eksponensial selalu naik atau selalu turun. Oleh karena itu, grafik ini memenuhi Uji Garis Horizontal. Yaitu, grafik fungsi eksponensial ini berpotongan dengan sebarang garis horizontal maksimal di satu titik. Sehingga fungsi eksponensial merupakan fungsi satu-satu. Kita dapat menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu untuk menyelesaikan persamaan eksponensial sederhana.

Sifat Korespondensi Satu-satu

Untuk a > 0 dan a ≠ 1, a^x = a^y jika dan hanya jika x = y.

Contoh 4: Menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu

Selesaikan persamaan-persamaan eksponensial berikut ini.

1. 9 = 3^{x + 1}
2. (1/2)^x = 8

Pembahasan

1. Dengan menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu, kita mendapatkan
   
   Jadi, selesaian dari masalah ini adalah x = 1.
2. Dengan menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu, kita peroleh
   
   Jadi, x = –3 merupakan selesaian dari persamaan ini.

Dalam contoh selanjutnya kita akan melihat bagaimana menggambar grafik fungsi tanpa melakukan plot titik, akan tetapi dengan menggunakan grafik dasar fungsi-fungsi eksponensial pada Gambar 2 yang kemudian dikenakan pergeseran dan pencerminan.

Contoh 5: Transformasi Fungsi Eksponensial

Gunakan grafik f(x) = 2^x untuk mensketsa grafik fungsi-fungsi g(x) = 1 + 2^x, h(x) = –2^x, dan k(x) = 2^{x – 1}. Nyatakanlah domain, range, dan asimtot dari fungsi-fungsi tersebut.

Pembahasan Untuk mendapatkan grafik g(x) = 1 + 2^x, kita mulai dengan grafik f(x) = 2^x dan kemudian kita geser grafik fungsi f tersebut ke atas sejauh 1 satuan untuk mendapatkan grafik seperti yang ditunjukkan Gambar 5(a). Dari grafik tersebut kita dapat melihat bahwa domain g merupakan himpunan semua bilangan real, range g adalah selang (1, ∞), dan garis y = 1 merupakan asimtot horizontal.

Begitu juga untuk mendapatkan grafik h(x) = –2^x, kita mulai dengan f(x) = 2^x, akan tetapi kali ini kita cerminkan grafik tersebut terhadap sumbu-x untuk mendapatkan grafik yang ditunjukkan Gambar 5(b). Berdasarkan grafik ini kita dapat melihat bahwa domain h adalah himpunan semua bilangan real, range fungsi ini merupakan selang (–∞, 0), dan garis y = 0 merupakan asimtot horizontal.

Gambar 5(c) menunjukkan grafik fungsi k(x) = 2^{x – 1} yang diperoleh dengan menggeser grafik f(x) = 2^x ke kanan sejauh satu satuan. Dari grafik ini kita dapat mengamati bahwa domain k adalah himpunan semua bilangan real, range k adalah selang (0, ∞), dan garis y = 0 merupakan asimtot horizontal grafik fungsi k.

Perhatikan bahwa transformasi pada Gambar 5(b) dan 5(c) tetap menjadikan sumbu-x sebagai asimtot horizontal, sedangkan transformasi pada Gambar 5(a) menghasilkan asimtot horizontal baru, yaitu y = 1. Perhatikan juga bahwa masing-masing transformasi di atas mempengaruhi titik potong grafik dengan sumbu-y.

Contoh 6: Membandingkan Fungsi Eksponensial dan Fungsi Pangkat

Bandingkan laju perubahan fungsi eksponensial f(x) = 2^x dan fungsi pangkat g(x) = x² dengan menggambar grafik kedua fungsi tersebut pada persegi panjang dengan selang [0, 3] kali [0, 8], [0, 6] kali [0, 25], dan [0, 20] kali [0, 100].

Pembahasan Gambar 4(a) menunjukkan bahwa grafik g(x) = x² berpotongan dengan grafik f(x) = 2^x pada x = 2. Setelah itu, grafik g lebih tinggi dari grafik f. Gambaran yang lebih luas ditunjukkan oleh Gambar 4(b). Gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik f(x) = 2^x kembali lebih tinggi dari grafik g(x) = x² setelah x = 4. Gambar 4(c) memberikan gambaran yang lebih umum dan menunjukkan bahwa ketika nilai x besar, f(x) = 2^x jauh lebih besar daripada g(x) = x².

Basis Natural e

Dalam banyak masalah terapan, pilihan basis yang mudah digunakan adalah bilangan irasional

Bilangan ini disebut basis natural. Fungsi f(x) = e^x disebut sebagai fungsi eksponensial natural. Gambar 7 menunjukkan grafik fungsi ini. Pastikan bahwa dalam melihat fungsi eksponensial f(x) = e^x, e adalah konstanta 2,718281828…, sedangkan x adalah variabel.

Contoh 7: Menentukan Nilai Fungsi Eksponensial Natural

Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai fungsi f(x) = e^x pada masing-masing nilai x berikut.

1. x = –2
2. x = –1
3. x = 0,25
4. x = –0,3

Pembahasan

1. f(–2) = e^–2 ≈ 0,1353353
2. f(–1) = e^–1 ≈ 0,3678794
3. f(0,25) = e^0,25 ≈ 1,2840254
4. f(–0,3) = e^–0,3 ≈ 0,7408182

Contoh 8: Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial Natural

Sketsalah grafik masing-masing fungsi berikut. Nyatakan domain, range, dan asimtot fungsi-fungsi tersebut.

1. f(x) = e^–x
2. g(x) = 3e^0,5x

Pembahasan

1. Kita mulai dengan menggambar grafik y = e^x dan kemudian kita cerminkan grafik ini terhadap sumbu-x untuk mendapatkan grafik y = e^–x seperti yang ditunjukkan Gambar 8. Dari gambar tersebut kita melihat bahwa domain f adalah himpunan semua bilangan real, range fungsi ini adalah selang (0, ∞), dan garis y = 0 merupakan asimtot horizontal grafik fungsi f.
   
2. Untuk menggambar grafik g(x) = 3e^0,5x, pertama kita hitung nilai fungsi untuk beberapa nilai x, plot titik-titik yang diperoleh, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva halus. Grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 9. Dari grafik tersebut kita dapat melihat bahwa domain g adalah himpunan semua bilangan real, range fungsi ini adalah selang (0, ∞), dan garis y = 0 merupakan asimtot horizontal.
   
   

Penerapan

Salah satu contoh pertambahan eksponensial yang paling familiar adalah bunga majemuk. Rumus untuk bunga majemuk dalam n kali pemberian bunga tiap tahunnya adalah

Dalam rumus ini, A merupakan saldo, P adalah tabungan awal, r adalah bunga per tahun (dalam bentuk desimal), n adalah banyaknya waktu tiap tahunnya ketika bunga diberikan, dan t adalah waktu dalam tahun. Dengan menggunakan fungsi eksponensial, kita dapat membuat rumus ini dan menunjukkan bagaimana rumus ini akan bertambah secara terus menerus.

Misalkan kita menabung dengan tabungan awal P pada bunga r per tahun, dan bunga diberikan satu kali dalam satu tahun. Jika bunga tersebut ditambahkan pada tabungan awal pada akhir tahun, maka tabungan kita menjadi

Pola perkalian tabungan sebelumnya dengan 1 + r akan terus berulang pada tahun-tahun yang berurutan, seperti berikut.

Untuk mengakomodasi pemberian bunga yang lebih sering (tiap triwulan, bulanan, atau harian), misalkan n adalah banyaknya pemberian bunga per tahun dan misalkan t adalah banyaknya tahun. Maka bunga tiap pemberian bunga tersebut adalah r/n dan saldo setelah t tahun adalah

Jika kita membiarkan bilangan pemajemukan bunga n bertambah tanpa batas, proses ini kita sebut sebagai pemajemukan kontinu. Dalam rumus yang memuat n, kita misalkan m = n/r. Hal ini akan menghasilkan

Selanjutnya kita selidiki nilai (1 + 1/m)^m ketika m bertambah tanpa batas dengan menggunakan tabel berikut.

Jika m bertambah tanpa batas (yaitu ketika m mendekati ∞), tabel di atas menunjukkan bahwa [1 + (1/m)]^m mendekati bilangan natural e. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa rumus untuk pemajemukan kontinu adalah

---

Rumus Bunga Majemuk

Setelah t tahun, saldo A dalam suatu akun dengan tabungan awal P dan bunga tahunan r (dalam bentuk desimal) diberikan oleh rumus-rumus berikut.

1. Untuk n kali pemajemukan bunga per tahunnya:
   
2. Untuk pemajemukan kontinu:
   

---

Contoh 9: Bunga Majemuk

Misalkan kita menabung di suatu bank sebesar Rp 120.000.000,00 dengan bunga 3% per tahun. Tentukan besarnya saldo kita setelah 5 tahun dengan pemajemukan bunga

1. Tiap triwulan.
2. Tiap bulan.
3. Kontinu.

Pembahasan

1. Untuk pemajemukan bunga tiap triwulan, kita mendapatkan n = 12/3 = 4. Sehingga, dalam 5 tahun pada bunga 3%, saldo kita adalah
   
   Jadi, saldo akhir kita adalah Rp 139.342.097,08.
2. Untuk pemajemukan bunga tiap bulan, kita memperoleh
   
   Jadi, saldo kita setelah 5 tahun pada bunga 3% adalah Rp 139.394.013,79.
3. Untuk pemajemukan kontinu, kita mendapatkan
   
   Jadi, saldo kita setelah 5 tahun pada bunga 3% per tahun adalah Rp 139.420.109,13

Contoh 10: Peluruhan Radioaktif

Pada tahun 1986, sebuah kecelakaan reaktor nuklir terjadi di Chernobyl. Ledakan yang terjadi menyebarkan bahan kimia beracun tinggi, seperti plutonium (²³⁹Pu), ke daerah dengan luas ratusan lebih kilometer persegi, dan pemerintah mengevakuasi kota tersebut dan daerah di sekitarnya. Untuk melihat mengapa kota ini sekarang masih tidak berpenghuni, perhatikan model

yang merepresentasikan banyaknya plutonium yang masih tersisa (dari jumlah awal 10 kg) setelah t tahun. Sketsalah grafik fungsi ini pada selang mulai dari t = 0 sampai t = 100.000, di mana t = 0 merepresentasikan tahun 1986. Berapa banyak 10 kg plutonium yang akan tersisa pada tahun 2017? Berapa banyak 10 kg plutonium yang tersisa setelah 100.000 tahun?

Pembahasan Grafik fungsi ini dapat ditunjukkan oleh Gambar 10.

Dari grafik tersebut, kita dapat melihat bahwa plutonium tersebut tersisa setengah kali jumlah awal setelah sekitar 24.100 tahun. Setelah 24.100 tahun selanjutnya, akan tersisa seperempat dari jumlah awal, dan seterusnya. Pada tahun 2017 (t = 31), masih akan terdapat

kg plutonium yang tersisa. Setelah 100.000 tahun, masih akan ada

kg plutonium yang tersisa.

Contoh 11: Model Eksponensial Penyebaran Virus

Suatu penyakit menular mulai menyebar di sebuah kota kecil dengan populasi 10.000. Setelah t hari, banyaknya orang yang telah terjangkit virus tersebut dapat dimodelkan dengan fungsi

1. Berapa banyak orang yang terinfeksi virus ini pada awalnya (pada waktu t = 0)?
2. Tentukan banyaknya orang yang terinfeksi setelah satu hari, dua hari, dan lima hari.
3. Gambarlah grafik fungsi v, dan deskripsikan karakteristiknya.

Pembahasan Pembahasan soal ini dapat dilihat di bagian Arsip Soal.

Penutup

Pada pembahasan ini kita telah mengetahui definisi fungsi eksponensial f dengan basis a. Contoh dalam menentukan nilai fungsi-fungsi eksponensial dapat kita lihat di Contoh 1. Selain itu kita telah memahami karakteristik dasar grafik fungsi eksponensial. Contoh 2 mendemonstrasikan bagaimana cara menggambar grafik fungsi-fungsi semacam ini dengan melakukan plot titik-titik. Pada Contoh 3 kita telah berlatih mengidentifikasi fungsi eksponensial apabila diberikan grafiknya. Setelah itu, kita belajar mengenai Sifat Korespondensi Satu-satu untuk menyelesaikan persamaan-persamaan eksponensial sederhana. Pada Contoh 4 kita gunakan sifat ini untuk menyelesaikan soal. Dan tidak ketinggalan, pada Contoh 5 kita gunakan transformasi untuk mensketsa grafik fungsi eksponensial dengan melakukan pergeseran ataupun pencerminan terhadap grafik fungsi fungsi eksponensial yang umum. Contoh 6 menunjukkan perbedaan antara grafik fungsi eksponensial dan grafik fungsi pangkat dengan menyelidiki grafiknya pada range tertentu.

Basis natural e, yang bernilai 2,718281828…, juga telah kita bahas. Seperti dengan basis-basis lainnya, kita juga telah berlatih untuk menentukan nilai fungsi eksponensial natural pada Contoh 7 dan berlatih untuk menggambar grafik fungsi ini pada Contoh 8.

Pada pembahasan ini kita juga telah mendeskripsikan beberapa contoh bagaimana menggunakan fungsi eksponensial untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan sehari-hari. Salah satu bentuk eksponensial dapat kita jumpai pada Rumus Bunga Majemuk. Kita gunakan rumus ini untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan mengenai tabungan dengan bunga majemuk pada Contoh 9. Contoh lain penerapan fungsi eksponensial dapat kita jumpai pada Contoh 10, yaitu mengenai peluruhan radioaktif. Dan terakhir, kita juga dapat memodelkan dan menyelesaikan permasalahan penyebaran virus dengan fungsi eksponensial, yang ditunjukkan pada Contoh 11 dan dibahas dalam Arsip Soal. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Bagikan ini:

Terkait

• Fungsi Logaritma dan Grafiknya
• 
• 18 Oktober 2015
• dalam "Aljabar"

• 10+ Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri
• 
• 12 Februari 2015
• dalam "Kalkulus"

• Melukis Grafik Fungsi Trigonometri
• 
• 6 Oktober 2012
• dalam "Kelas X"

Kategori: Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika

Tag: Basis natural, Bunga majemuk, Fungsi, Fungsi eksponensial, Fungsi kuadrat, Grafik, Korespondensi satu-satu, Soal cerita, Transformasi

Berikan Komentar

Pendidikan Matematika

Kembali ke atas

Iklan